工程數學：微分方程式與積分轉換

📝 歷屆考古題

• 112年 地特三等 第1題
  考慮函數 $\phi(x,y,z) = 2x^2y - yz^2$，請決定梯度 $\nabla\phi(x,y,z)$ 在點 $(1,-1,2)$ 之值為何？
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• 112年 地特三等 第3題
  圍線積分 $\oint_c y^2 dx + (xy + x^2)dy$ 其中 $c$ 為由直線 $y = x$ 與拋物線 $y = x^2$ 所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green's theo…
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• 112年 地特三等 第13題
  一階常微分方程式 $(Ax^2y^2 + By^3)dx + (2x^3y + 12xy^2 + 5)dy = 0$ 為正合（exact），A、B 值為何？
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• 112年 地特三等 第14題
  給定微分方程 $(4-y^2)\frac{dy}{dx} = x^2$，當初始值 $(x_0, y(x_0))$ 落在下列那一個 $xy$ 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique sol…
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• 112年 地特三等 第15題
  已知週期為 6 的函數 $f(x) = |x|, -3 < x < 3$，展開成 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{3}$，…
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• 112年 地特三等 第16題
  函數 $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } |x| < 1 \ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ 之傅立葉轉換（Fourier t…
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• 112年 地特三等 第17題
  下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？
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• 111年 地特三等 第12題
  有一個雙變數函數 $f(x, y) = x^2 \cdot \sin(x \cdot y)$ 。請問 $f(x, y)$ 在（1, $\pi$）的梯度（gradient）為何？
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• 111年 地特三等 第13題
  考慮微分方程式： $\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + y(t) = \sin \omega t, t \ge 0$ ，其中 $\dot{y}$ 與 $\ddot{y}$ 分別代表…
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• 111年 地特三等 第14題
  考慮一個初始值問題（initial-value problem）微分方程： $y''(x) + x \cdot y'(x) + e^x \cdot y(x) = x^2 + 1$ ，初始條件： $y(0) = 2$…
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• 111年 地特三等 第15題
  下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation） $L(f) := \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ 之敘述，何者錯誤？
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• 111年 地特三等 第16題
  考慮以下函數： $f(t) = 1$ ，當 $0 \le t \le 2$ ； $f(t) = 0$ ，當 $t \le 0$ 或 $t \ge 2$ 。下列敘述何者正確？
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• 110年 地特三等 第7題
  微分方程式 $y' + \cos(x)y = 1$，初始值 $y(\pi) = A$。若 $y(x)$ 的級數解為 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-\pi)^n$，…
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• 110年 地特三等 第8題
  函數 $f(x) = e^{-2x}$，$-1 \le x \le 1$，其傅立葉級數（Fourier series）在 $x = -1$ 時收斂於 $A$，在 $x = 0$ 時收斂於 $B$，在…
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• 110年 地特三等 第16題
  微分方程式 $y'' + 3y' + 2y = f(t)$，初始值 $y(0) = y'(0) = 0$。若 $y(t)$ 的拉式轉換（Laplace transform）為 $Y(s) = \frac{1}{(s^2+3s+2)(s-2)^2}$…
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• 110年 地特三等 第17題
  積分方程式 $y(t) + \int_0^t (t-\tau)y(\tau)d\tau = 1$ 的解為何？
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• 110年 地特三等 第18題
  欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式 $-y dx + x dy = 0$，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？
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• 109年 地特三等 第7題
  下列那一個是適合的積分因子（integrating factor），乘上它以後，將使微分方程式 $(x+y)dx+x\ln(x)dy=0$ 變成正合（exact）？
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• 109年 地特三等 第8題
  微分方程式 $y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t}$，其中 $y(0) = 2, y'(0) = 6$。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到 $Y(s) = \frac{2(s-c)^d + 2}{(s-a)^b}$…
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• 109年 地特三等 第9題
  設 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 為函數 $f(x) = x^3, -\pi < x < \pi$ 之傅…
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• 109年 地特三等 第10題
  設 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$ 為微分方程 $y''' + ay'' + by' + cy = 0$ 的通解（general solutio…
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• 109年 地特三等 第11題
  求積分方程 $f(t) = \cos t + \int_0^t e^{-\tau} f(t-\tau) d\tau$ 的解。
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• 108年 地特三等 第11題
  假設 $k_1 e^{ax} + k_2 e^{bx} + e^{cx}$ 為微分方程式 $y''-6y'+8y=3e^x$ 的解，則 $a+b+c$ 為何？
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• 108年 地特三等 第13題
  給定一組微分方程式 $x_1' = -x_2$，$x_2' = 1.01x_1 - 0.2x_2$，起始值為 $x_1(0) = 0$，$x_2(0) = -1$，則 $\lim_{t \to +\infty} x_2(t) = ?$
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• 108年 地特三等 第14題
  令 $F(s) = \frac{s+1}{s^2(s^2+1)}$，試求 $F(s)$ 之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） $f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = ?$
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• 108年 地特三等 第15題
  下列何者為偏微分方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 4 \frac{\partial u}{\partial y}$ 的解？以下 $c_1, c_2, \alpha$…
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• 108年 地特三等 第16題
  求 $\frac{1}{s^2}\left(\frac{s-1}{s+1}\right)$ 之反拉普拉斯轉換為下列何者？
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• 108年 地特三等 第17題
  已知函數 $x(t)$ 其傅立葉轉換為 $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$ 且 $|X(j\omega)| = 2(u(\omega+3)-u(\omega-3))$…
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• 107年 地特三等 第2題
  微分方程式 $(2xy^3 - 3y)dx - (3x - 3x^2y^2 + 6y)dy = 0$ 其解為何？（選項中 $k$ 為任意常數）
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• 107年 地特三等 第11題
  求微分方程式 $xy' + y = \sin x$ 的解。（選項中 $C$ 為任意常數）
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• 107年 地特三等 第13題
  設 $y = y(t)$ 為 $y''(t) + y'(t) + y(t) = 2$ 之解，則 $\lim_{t \to \infty} y(t)$ 之值為何？
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• 107年 地特三等 第14題
  以 Frobenius 級數 $y = \sum_{n=0}^\infty C_n X^{n+r}$ 求解 $x^2 y'' + x(\frac{1}{2} + 2x)y' + (x - \frac{1}{2})y = 0$…
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• 107年 地特三等 第15題
  已知 $f(t) = \begin{cases} \cos 2t, & 0 \le t < 2\pi \ 0, & t \ge 2\pi \end{cases}$ 的拉普拉斯（Laplace）轉換為…
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• 107年 地特三等 第16題
  白努利方程式（Bernoulli equation） $y' + p(x)y + q(x)y^a = 0$ 可以何方式轉換為線性方程式？
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• 107年 地特三等 第17題
  下列何者為函數 $f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0 \ \pi, & 0 \le x < \pi \end{cases}$ 之傅立葉級數（Fourier s…
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• 106年 地特三等 第10題
  求下列微分方程式的特解：$y'' - 4y' + 4y = 0$ 且 $y(0) = 3, y'(0) = 4$
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• 106年 地特三等 第11題
  求微分方程 $y' - \frac{4xy}{y-1} = 0, y(0) = 1$ 之解為：
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• 106年 地特三等 第12題
  已知 $y(t)$ 的拉普拉斯轉換（Laplace transform）方程式為 $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{s + 14}{s^4 + 3s^3 + 7s^2}$…
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• 106年 地特三等 第13題
  下列何者為 $xy(y')^2 + (x^2 + xy + y^2)y' + x(x + y) = 0$ 之解？（其中 $C$ 為常數）。
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• 106年 地特三等 第14題
  給定一偏微分方程式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x^2 y$，且方程式滿足 $z(x, 0) = x^2, z(1, y) = \cos y$…
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• 106年 地特三等 第15題
  有一微分方程 $(x^2 + 16)y'' + \frac{1}{3}x^2 y' + 5e^x y = 0$，$r_1$ 及 $r_2$ 分別為其級數解 $y = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$…
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• 106年 地特三等 第16題
  求 $t \cos(at)$ 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）：
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• 106年 地特三等 第17題
  試問下列何者不滿足二維拉普拉斯方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$？
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• 105年 地特三等 第10題
  函數 $f(t)$ 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 $F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$，若 $f(t) = 2e^{-3t} \cos 4t$，則下列何者正確？
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• 105年 地特三等 第11題
  求解微分方程 $y' = 2y + 2x$，其解為：
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• 105年 地特三等 第12題
  求 $x' + 2y' - y = 0$，$x + y' = e^{-t}$，$x(0) = y(0) = 0$ 之解：
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• 105年 地特三等 第13題
  試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform） $\mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2s - 1}{s^2 + 8s + 25} \right]$？
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• 105年 地特三等 第14題
  求 $x^2 y' + xy = -y^{-3/2}$ 之通解？（選項中 $c$ 為任意常數）
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• 105年 地特三等 第15題
  求偏微分方程式 $u_{xy} - 2u_x = 0$ 之解？（選項中 $k_1(y)$ 為 $y$ 的函數，$k_2(x)$ 為 $x$ 的函數）
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• 105年 地特三等 第16題
  給定一偏微分方程式為 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = x$，且 $u(0, y) = 0$…
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• 105年 地特三等 第17題
  令 $y(t)$ 為微分方程 $\frac{d^2 y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 2t^2$ 之解，其中 $y(0) = y'(0) = 0$。若…
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